В 1976 году Александр Леонидович закончил 2-й Московский медицинский институт им. Н.И. Пирогова. В 1976-1981 гг. проходил ординатуру и аспирантуру в Институте клинической кардиологии имени А.Л. Мясникова, в 1981 году досрочно защитил кандидатскую диссертацию.
По возвращении Мясников совмещал работу врача-кардиолога во Всесоюзном кардиологическом научном центре и сотрудника медицинского отдела Международной организации по миграции. В 1993-1996 гг. работал врачом Посольства России во Франции, сотрудничал с ведущими медицинскими центрами Парижа. С 1996 года работал в США, подтвердил там диплом врача. Окончил ординатуру при Медицинском центре Нью-Йоркского государственного университета по специальности «врач общей практики». В 2000 году Американский комитет по медицине присвоил Александру Леонидовичу звание врача высшей категории. Член Американской медицинской ассоциации и Американской коллегии врачей.
С 2000 года Мясников работает в Москве, сначала главным врачом Американского медицинского центра, затем главным врачом организованной им Американской клиники. С 2009 по 2010 гг. – главный врач Кремлёвской больницы Управления делами Президента РФ. В это же время Александр Леонидович начинает работу в качестве телеведущего программы «Врача вызывали?» и ведёт медицинскую рубрику в программе Владимира Соловьёва на радио «Вести FM». С 2010 года по настоящее время Мясников – Главный врач Московской городской клинической больницы №71 (с июня 2015 года – Городская клиническая больница им. М.Е. Жадкевича). Заместитель председателя Общественного совета при Министерстве здравоохранения Российской Федерации. Член Общественной палаты города Москвы. С 2013 года – ведущий программы «О самом главном с доктором Мясниковым» на телеканале «Россия 1». В июне 2017 года получил звание «Заслуженный врач города Москвы». Автор книг о здоровье.
